實分析的集合論「個人心得」

近代數字最重要的工具之一就是集合論 (set theory)。末學曾念過 Charles C. Pinter, Set Theory，曾為書裡細節著迷，甚至花許多心思研究 1+1=2 怎麼證明，基於幾個簡單假設 (Axiom of Infinity: There exist a successor set)，1+1=2 的確可以證明，但這不是「末學要的」集合論。

任何知識都一樣，有需求才有動力學習。我們到底要什麼？

末學要的集合論是可用在實分析 (real analysis) 的集合論。究竟集合論哪些內容對實分析有用處？根據 H. L. Royden, Real Analysis, 3ed 的建議，集合論至少包括：

• 證明論述能力 (這也算集合論？末學認為如此)
• The well-ordering principle
• Mathematical induction
• (Generalized) Principle of recursive definition
• Axiom of choice

以上是末學認為重要的內容，大家若不同意末學所言，歡迎提出自己的版本。

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證明論述能力

何謂「證明論述能力」？狹義的說，就是完成 Real Analysis 教科書習題的能力。舉兩個例子來說：

1. (Royden, Real Analysis, Problems 1.1.4) Show that the well-ordering principle implies the principle of mathematical induction. [Consider the set { n is a natural number : P(n) is false }.]

證明之前，我們得先克服英文障礙，我們寧可卡在數學，而不是英文。英文是說：請證明 the well-ordering principle => mathematical induction.

了解英文語意之後，接著是計算習題。末學認為證明跟計算分不開。那麼我們開始來計算：

Consider the set S = { n is a natural number : P(n) is false }, where P(n) is a proposition defined for each natural number n.

卡住，趕緊來google一下。這個提示一點也不自然，我們可以回到原點重新思考。回想 mathematical induction：{ P(1) & P(n) => P(n+1) } => (n)P(n)，內容包括兩句敘述：

• A: { P(1) & P(n) => P(n+1) }
• B: (n)P(n)

我們可以思考 proof by contradiction (reductio ad absurdum): 利用 A and (not B) 來導出矛盾。(not B) 翻成白話就是 there is a n which P(n) is false，若能計算到此，提示看來十分自然。繼續計算：

If S is not empty, by the well-ordering principle there is a least element m in S. m cannot be 1 since P(1) is true. Also, m-1 is in S too since P(m-1) => P(m), which is absurd since m is not a least element.

整個計算就是這麼一回事。

2. (Royden, Real Analysis, Problems 1.1.5) Use mathematical induction to establish the well-ordering principle. [Given a set S of positive integers, let P(n) be the proposition 'If n is in S, then S has a least element'.]

英文是說：請證明 mathematical induction => the well-ordering principle. 一樣，提示也不太自然，但提示的確很有用。若 (n)P(n)，則 well-ordering principle 自動成立，因為 every nonempty subset of N contains a natural number.

Given a nonempty set S of positive integers, let P(n) be the proposition 'If n is in S, then S has a least element'. P(1) is true since 1 is the least element in N. Assume that P(1), P(2), ..., and P(n) are all true. Suppose n+1 is in S. If n+1 is a least element of S, we are done. If not, there is an element m < n+1 in S. m is between 1 and n. By mathematical assumption, S has a least element. So P(1), P(2), ..., and P(n) => P(n+1). By mathematical induction, (n)P(n), or the well-ordering principle. 

這裡用變形的 mathematical induction，與原形式等價，這點末學念高中的時候有證。

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寫了那麼多的計算，看起來很厲害。事實上，數學的直覺應該將 the well-ordering principle 與 mathematical induction 視為理所當然！只要證明 trivial 寫夠多，你就出師了。

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Mathematical Induction

標準形式是：{ P(1) & P(n) => P(n+1) } => (n)P(n)。使用時機：不明，必須試了才知道能不能用，末學通常會這麼操作：

1. 計算簡單情況：P(1), P(2), P(3)...
2. 找出 P(n) 與 P(n+1) 關係
3. 利用 mathematical induction 美化證明

美化證明也是一門學問。