狹義相對論(四) Lorentz Transformation 應用

這篇討論一些應用，與其說應用，不如說驗證。令 γ = 1/√(1 - v^2/c^2) > 1 (Lorentz factor)。

• 前面提到的 a light-signal, which is proceeding along the positive axis of x, is transmitted according to the equation x - ct = 0. 對 O' 觀察者來說，x' = γ(c-v)t，但將 t 置換成 t' = γ(1 -v/c)t，又會得到 x' = ct'.
• 談到縮短的量尺。在 K' 坐標系統的量尺，Δx = 1，對 O 觀察者來說，長度是 1/γ < 1，縮短了。值得注意的是，當 K' 的速度越快 (量尺的速度越快)，量尺越短。當 v = c，量尺只剩 0 了。此外，1/γ 也暗示量尺速度不可能超過光速！
  
• 談到變長的時間。在 K' 座標系統的時鐘，Δt' = 1。對 O 觀察者來說 Δt = γ > 1，時間變長了。
  
• 檢驗 Galilei transformation。當 v 遠小於 c 時，γ 接近 1，Lorentz transformation 退化成 Galilei transformation，沒有矛盾。
  
• Theorem of the addition of velocities. 在 K' 座標系統有一個人往 the positive axis of x' 以 w 速度快速移動，傳統 Galilei transformation 告訴我們，在 K 座標系統的觀察者 O 會看到這個人以 W = v + w 速度移動 (v 就是 Lorentz transformation 中 K' 相對於 K 的移動速度)。但若考慮相對論，用 x, t 重寫 x' = wt' (公式是 x' = γ(x-vt), t' = γ(t - v/c^2 x))，可得 x = (v + w)/(1 + vw/c^2)t，也就是 W = (v + w)/(1 + vw/c^2).
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