廣義相對論(五) 張量的基本性質

接下來的細節有點無聊，但為了弄清 geodesic equation，我們得繼續研究。參考書籍還是這本：B. A. Dubrovin, A. T. Fomenko, Sergeĭ Petrovich Novikov, Modern Geometry - Methods and Applications: Part I: The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields.

為了避免過度抽象化，以下張量基本性質請用 g~_{ij}(z) = g_{kl}(x) ▲x^k/▲z^i ▲x^l/▲z^j 來想他。

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我們之前談到 x-系統中的 g_{ij} 如何變換成 z-系統的 g~_{ij}，根據相對性，z-系統的 g~_{ij} 也能變換成 x-系統中的 g_{ij}:

g_{kl}(x) = g~_{ij}(z) ▲z^i/▲x^k ▲z^j/▲x^l.

有沒有對稱的美感呢？

以抽象的角度重新敘述這件事：若

T^{i}_{j} = T~^{k}_{l} ▲x^i/▲z^k ▲z^l/▲x^j,

則

T~^{k}_{l} = T~^{i}_{j} ▲z^k/▲x^i ▲x^j/▲z^l.

符號有點錯亂，但有規則可循，對於右邊求和式來說，「張量上足標動，偏微分下足標動」(k, i)，「張量下足標動，偏微分上足標動」(l, j)。

關於證明，我們先用 g~_{ij}(z) = g_{kl}(x) ▲x^k/▲z^i ▲x^l/▲z^j 來想。(遮邊符號又跟上面符號不太一致，請小心操作，不要死記。)那要怎麼想呢？

(1) 不證自明。

(2) 硬算。

x^i = x^i(z^1, ..., z^n) = x^i(z^1(x), ..., z^n(x)),

這裡 z^j(x) 僅僅表示用 x-系統來表達 z^j。根據大學微積分的 chain rule，兩邊對 x^k 偏微分

1 = ▲x^i/▲z^j ▲z^j/▲x^k if i = k,
0 = ▲x^i/▲z^j ▲z^j/▲x^k if i ≠ k.

(或簡寫成 ▲x^i/▲z^j ▲z^j/▲x^k = δ^i_k)

接著把 g~_{ij}(z) = g_{rs}(x) ▲x^r/▲z^i ▲x^s/▲z^j 這一整串代入 g~_{ij}(z) ▲z^i/▲x^k ▲z^j/▲x^l 裡頭的 g~{ij}(z)，此時求和符號為 i, j, r, s，每個求和符號皆跑過 1, 2, 3。用上面的 chain rule 結果整理一下，

g~_{ij}(z) ▲z^i/▲x^k ▲z^j/▲x^l
= g_{rs}(x) ▲x^r/▲z^i ▲x^s/▲z^j ▲z^i/▲x^k ▲z^j/▲x^l
= g_{rs}(x) (▲x^r/▲z^i ▲z^i/▲x^k)(▲x^s/▲z^j ▲z^j/▲x^l)
= g_{rs}(x) δ^r_k δ^s_l (對 r, s 求和)
= g_{kl}(x).

有沒有很清楚呢？至於抽象化的證明，只需再注意一件事：▲z^i/▲x^j ▲x^j/▲x^k = δ^i_k 即可。

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Algebraic Operations on Tensors.
(1) Permutation of indices.
(2) Contraction (or taking trace).
(3) Produce of tensors.

以上三個通通都是張量。