廣義相對論(三) 張量的起源

參考資料: B. A. Dubrovin, A. T. Fomenko, Sergeĭ Petrovich Novikov, Modern Geometry - Methods and Applications: Part I: The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields. (這本是我研究所微分幾何的教科書)

打完收工，結束。喂～哪有那麼不負責任的文章！那再推薦一本書吧：Albert Einstein, The Meaning of Relativity.

打完收工，結束。喂～哪有那麼不負責任的文章！好啦，這邊我會大略介紹什麼是張量 (tensor)，張量跟物理的關係。因為我的數學知識淺薄(中肯)，若有錯誤或敘述模糊，還請各位先進不吝指點一二。

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首先，先複習已知的物理知識，接著把具體的數學物件抽象化，引出張量的概念。數學不應漫無目的的抽象化，我們一定要有目標，這樣抽象化才能具體化(有點饒舌)，才能繼續抽象化，往更有意義的目標前進。

首先，我們先看向量(vector)。因為我的物理很爛，高中物理常常不及格，但我仍記得向量形式的 F = ma。就數學表達來說，Newton's second law of motion does not depend on the coordinate system imposed by the observer，相反地，就物理來說，數學表達不應與坐標系有關。因此，向量跟坐標系無關。

更進一步來說，Newton's laws of motion 都與坐標系無關，其數學表達也跟坐標系無關。若大家還記得 general principle of relativity，其數學表達(Einstein field equations)不應與坐標系有關。因為 Newton's laws of motion 是廣義相對論的近似表達，Einstein field equations 若出現向量，一點也不意外。

但 Einstein 很快發現向量不夠用。根據等效性，重力會將光線彎曲，若光走最短路線還會彎曲，那表示光所行進的空間構造受到重力彎曲。Einstein 能這樣想，真不簡單！

該怎麼計算最短路線？這一切還真巧合，Bernhard Riemann 早就研究出計算的方法，祂用的數學表達是張量：

d^2 x^j/dt^2 + Γ^{j}_{ki} dx^k/dt dx^i/dt = 0.

在這個觀點下，我們可以將張量想成非歐幾何學的超級向量。當然，上面公式還不能夠推出 Einstein field equations，但 Γ^{j}_{ki} 跟張量有密切關係，也跟重力場有密切關係！不管怎樣，我們有必要好好了解張量。