廣義相對論(四) 張量的例子

數學設定：我們有兩套坐標系統 (也是相對論關心的兩套坐標系統)，分別是 x^1, x^2, x^3 和 z^1, z^2, z^3，其關係是

x^i = x^i(z^1, z^2, z^3),

讓我們關心底下參數化曲線的 velocity vector:

z^j = z^j(t).

當兩套坐標系統互相變換，會有什麼結果。請留意上足標符號，不是我們一般認知的次方，她只是一個足標 (index)。在張量世界中，上下足標符號代表 duality 概念，絕對不能搞混。

根據大學微積分可知，velocity vector

(η^1, η^2, η^3) = (dz^1/dt, dz^2/dt, dz^3/dt).

這沒有什麼了不起的。若將參數化曲線換到 x-系統，曲線 x^i(t) = x^i(z^1(t), z^2(t), z^3(t))，velocity vector

(ξ_1, ξ_2, ξ_3) = (dx^1/dt, dx^2/dt, dx^3/dt).

大學微積分的 chain rule 告訴我們，

ξ^1 = η^1 ▲x^1/▲z^1 + η^2 ▲x^1/▲z^2 + η^3 ▲x^1/▲z^3,
ξ^2 = η^1 ▲x^2/▲z^1 + η^2 ▲x^2/▲z^2 + η^3 ▲x^2/▲z^3,
ξ^3 = η^1 ▲x^3/▲z^1 + η^2 ▲x^3/▲z^2 + η^3 ▲x^3/▲z^3.

(讓我用 ▲ 代替那可惡的偏微分符號，這個不是山頭符號喔！)他有一種矩陣的美感，好啦，這個矩陣就是傳說中驚動萬教的 Jacobian matrix.

目前為止，只有討論上足標 (vector)。下足標當然從 covector 開始談起。這次我們考慮 real-valued function

f(x^1, x^2, x^3).

注意喔，剛剛從 z-系統 到 x-系統，這次要從 x-系統 到 z-系統。此外，剛剛從 η^j 到 ξ^i，這次從 ξ_i 到 η_j。(書本上下足標有錯，請仔細閱讀並糾正之。)

根據大學微積分 gradient 定義，

grad f = (▲f/▲x^1, ▲f/▲x^2, ▲f/▲x^3) = (ξ_1, ξ_2, ξ_3),
grad f = (▲f/▲z^1, ▲f/▲z^2, ▲f/▲z^3) = (η_1, η_2, η_3).

再來一次大學微積分 chain rule：

η_1 = ξ_1 ▲x^1/▲z^1 + ξ_2 ▲x^2/▲z^1 + ξ_3 ▲x^3/▲z^1,
η_2 = ξ_1 ▲x^1/▲z^2 + ξ_2 ▲x^2/▲z^2 + ξ_3 ▲x^3/▲z^2,
η_3 = ξ_1 ▲x^1/▲z^3 + ξ_2 ▲x^2/▲z^3 + ξ_3 ▲x^3/▲z^3.

有夠 duality 的啦！他有一種矩陣的美感，好啦，這個矩陣就是傳說中驚動萬教的 Jacobian matrix 的轉置矩陣。許多玩線性代數的高手，一定厭倦以上的數學套套邏輯。

到這邊已經談了兩個張量例子。什麼？這是傳說中的無感學習嗎？！是的。接著我要介紹重要的例子。

Riemannian Metrices
以純數的角度來看，Riemannian metrices 僅僅只是 positive definite quadratic forms g_{ij}(x)，而 x-系統中的向量 ξ 長度可定義為

|ξ|^2 = g_{ij} ξ^i ξ^j.

以直覺來看，想像扭曲的歐式空間(透過 g_{ij} 扭曲空間)，該如何扭曲原本的長度定義？若有這樣的直覺，不難想像 g_{ij} 可以操控重力場，重力場的數學表達就是 g_{ij}。x-系統中的 g_{ij} 該如何變換成 z-系統的 g_{ij}？根據前面 vector 變換，

g_{ij}(z) = g_{kl}(x) ▲x^k/▲z^i ▲x^l/▲z^j. 

(對 k, l 求和，這邊故意把 g_{ij} 跟 g_{kl} 混在一起，避免醜陋的波浪符號). 而 g_{ij} 就是張量(有時會省略ξ^i ξ^j不寫)，second-rank tensor，滿足坐標系統變換公式。

The General Definition of a Tensor
眼中有 T^{i_1 ... i_p}_{j_1 ... j_q} 符號，心中有 g_{ij} ξ^i ξ^j。只要掌握這個原則，任何數學細節將難不倒你。