建構實數系「個人心得」

實數系 (the real number system) 是實分析重要主題之一，實數系也是高等微積分重要主題之一。

關於實數系的建構，大家可參考 Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3ed 的說明。簡單的說，有兩種方式可以建構實數系:

1. Dedekind cut
2. Cauchy sequences of rational numbers

末學認為，Cauchy sequences 較有數學內涵，可以推廣至 metric space，不只是單純的建構實數系。當然，數學是不斷的累積，任何內容都有其價值及意義，如同荒野求生秘技主持人 Bear Grylls 所言：「別人的垃圾，可能是我的寶貝。」

其實，我們也可以繞過實數系的建構，傻傻相信 Completeness Axiom:

Every nonempty set of real numbers which has an upper bound has a least upper bound.

這樣也未嘗不可。某個角度看，實數本來就存在，根本不用浪費精力建構實數系，我們只要接受 Completeness Axiom 就夠了。實際上，前輩也是先發覺 Completeness Axiom 這件事，才想出建構實數系的辦法。當然啦，Cauchy sequences 仍是重要數學內容，幫助我們完備化賦距空間。

末學認為，我們除了接受嚴格的數學邏輯推演，也要了解數學歷史軌跡，缺一不可。