Chinese Remainder Theorem

重看之後覺得蠻有趣的，原則上我會看成一個 isomorphism between Z/mZ and Z/m_1 Z ⊕ Z/m_2 Z ⊕ ... ⊕ Z/m_t Z，其中 m = m_1 m_2 ... m_t，m_i 彼此互質。

從這個 isomorphism，可以進一步濃縮出 the group of units 版本的 isomorphism: U(Z/mZ) 與 U(Z/m_1 Z) ╳ U(Z/m_2 Z) ╳ ... ╳ (Z/m_t Z)。

((符號從 ⊕ 轉成 ╳ 僅僅表示從 (commutative) ring 加法改成 (commutative) ring 乘法))

接著顯而易見的是，數學家會玩一種遊戲，把 m_i 改成質數的某次方 p_i^{a_i}，因為質因數分解實在是太經典了。當然，這不是單純的玩遊戲，畢竟 Chinese Remainder Theorem 解決真正的問題，他透露數學經典原則：

化繁為簡

((要讓人看不懂，就要顛倒過來，化簡為繁))

把 Z/mZ 化成 Z/p^a Z 這種簡單的構造 ((?))，接下來去思考 Z/p^a Z 有沒有更簡單的構造。

((你可能會猜 Z/p^2 Z 與 Z/pZ ⊕ Z/pZ 同構，但一想你就知道是錯誤的，至少你有感覺 Z/3^2 Z 是一個 cyclic group，而 Z/3Z ⊕ Z/3Z 的 order = 3，這點就很不同。但多猜是好事，可以培養數學直覺。))

((最近也在亂猜菲律賓英文，慘))

化繁為簡。